发布时间 : 星期二 文章三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质更新完毕开始阅读ffb4e864dcccda38376baf1ffc4ffe473368fdcd
????????????????????【解析】 由题意AP??(AB?AC)，当??(0，??)时，由于?(AB?AC)表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，如图⑵.
二、“垂心”的向量风采
【命题3】 P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的垂心．
????????????????????????????????????????????【解析】 由PA?PB?PB?PC，得PB?(PA?PC)?0，即PB?CA?0，所以PB⊥CA．同理可证????????????????PC⊥AB，PA⊥BC．∴P是△ABC的垂心．如图⑶.
AECMB
CP
图⑶
PAOHF图⑷ B，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足【命题4】 已知O是平面上一定点，A??????????????????ABAC?，??(0，OP?OA?????????????)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心． ??ABcosBACcosC???????????????????????????????ABACABAC???，由于??????????????BC?0， 【解析】 由题意AP?????????ABcosBACcosC??ABcosBACcosC???????????????????????????????????????AB?BCAC?BC即?????????BC?CB?0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且?ABcosBACcosC垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，如图⑷. 三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB?c，AC?b，BC?a ．若?????????aIA?bIB?cIC?0，则I是△ABC的内心．
CB
O
a cP I
BA ACb 图⑹
图⑸
- 5 -
???????????????????????????????【解析】 ∵IB?IA?AB，IC?IA?AC，则由题意得(a?b?c)IA?bAB?cAC?0，
?????????????????????????????????????AB∵bAB?cAC?AC?AB?AB?AC?AC?AB????????AB????∴AI?bc??a?b?c???????????ABAC??????????．∵ABAC??????AC????AC??， ??????????????????ACAB????与????分别为AB和AC方向上的单位向量，
ACAB???∴AI与∠BAC平分线共线，即AI平分?BAC．
同理可证：BI平分?ABC，CI平分?ACB．从而I是△ABC的内心，如图⑸.
，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足【命题6】 已知O是平面上一定点，A??????????????????ABAC?OP?OA????????)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的内心． ??????，??(0，?ABAC?????????????????????ABAC????)时，AP表示?BAC的平分线所在直【解析】 由题意得AP???????????，∴当??(0，?ABAC???线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心，如图⑹.
四、“外心”的向量风采
???????????????2【命题7】 已知O是△ABC所在平面上一点，若OA?OB2?OC2，则O是△ABC的外心．
CAOBOABMPC????????????????2????2????2????2????2????2【解析】 若OA?OB?OC，则OA?OB?OC，∴OA?OB?OC，则O是△ABC的
图⑺
图⑻
外心，如图⑺。
，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足【命题7】 已知O是平面上的一定点，A??????????????????????OB?OCABAC?，OP??????????????(0，??)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心。 ???2ABcosBACcosC??
- 6 -
??????????????????ABACOB?OC?表示垂直于?????【解析】 由于过BC的中点，当??(0，??)时，???????ABcosBACcosC?2??????），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过BC的向量（注意：理由见二、4条解释。
△ABC的外心，如图⑻。
补充练习 1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
111OP= (OA+OB+2OC),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
322A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB边的中点 1. B取AB边的中点M，则OA?OB?2OM，由OP=
3111 (OA+OB+2OC)可得3223OP?3OM?2MC，∴MP?2MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且
点P不过重心，故选B.
?????????????????????????????????222222．在同一个平面上有?ABC及一点Ｏ满足关系式： OA＋BC＝OB＋CA＝OC＋???????AB2，则Ｏ为?ABC的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
????????????2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA?PB?PC?0，则P为?ABC的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OP?OA??(AB?AC)，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足： ????????????????????????PA?PC?PA?PB?PB?PC?0，则P点为三角形的 （ D ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
????????????5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a?PA?b?PB?c?PC?0，则P点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
226．在三角形ABC中，动点P满足：CA?CB?2AB?CP，则P点轨迹一定通过△ABC的： （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
- 7 -
→→→→ABACABAC1→→→
7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )
→||AC→|→|→|2|AB|AB|ACA.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 ????????ABAC??????)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又解析：非零向量与满足(???|AB||AC|?????????ABAC1
cosA??????????= ，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．
3|AB||AC|2
8.?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH?m(OA?OB?OC)，则实数m = 1 9.点O是?ABC所在平面内的一点，满足OA?OB?OB?OC?OC?OA，则点O是?ABC的（B ） （B）三条边的垂直平分线的交点
（D）三条高的交点
?????????10. 如图1，已知点G是?ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM?xAB，
（A）三个内角的角平分线的交点
（C）三条中线的交点
????????11AN?yAC，则??3。
xy???????????? 证 点G是?ABC的重心，知GA?GB?GC?O，
????1????????????????????????????得?AG?(AB?AG)?(AC?AG)?O，有AG?(AB?AC)。又M，N，G三点共线（A不在直线MN
3上），
????????????? 于是存在?,?，使得AG??AM??AN(且????1)，
?????????????????1??? 有AG??xAB??yAC=(AB?AC)，
3?????111???3。 得?，于是得1xy?x??y??3?
- 8 -