发布时间 : 星期一 文章人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳：圆锥曲线第一章 轨迹方程（中档）更新完毕开始阅读fffb8fb6ee3a87c24028915f804d2b160a4e867b
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第一章轨迹方程
动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标x,y所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法.
第一节:直译法:
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含x,y的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法.
【例1】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A??1,1?关于原点O对称，P是动点，且直线AP与
1BP的斜率之积等于?，求动点P的轨迹方程.
3解析：因为点B与点A??1,1?关于原点O对称，所以点B的坐标为?1,?1?，设点P?x,y?，由题意得y?1y?12222化简得x?3y?4?x??1? ，故动点P的轨迹方程为x?3y?4?x??1? 1，g??x?1x?13【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知点A?0,?1?,B点在直线y??3上，M点满足
uuuruuuruuuruuuruuuruuurMBPOA,MAgAB?MBgBA，M点的轨迹为曲线C，求C的方程。
uuuruuur解析 设M?x,y?，因为A?0,?1?，M点满足MB//OA，所以
uuuruuuruuurB?x,?3?,MA???x,?1?y?,MB??0,?3?y?,AB??x,?2?，由题意可知
?uuuruuuruuur1MA?MB?AB?0，即(?x,?4?2y)?(x,?2)?0，即y?x2?2。 ?4
【例3】已知动点M?x,y?到直线l:x? 4的距离是它到点N?1,0?的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点P?0,3?的直线m与轨迹C交于A,B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率. 【解】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则
x2y2|x?4|?2(x?1)?y???1. 4322x2y2??1 所以，动点M的轨迹为 椭圆，方程为432x1?0?x2，2y1?3?y2 (Ⅱ) P(0, 3), 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知：椭圆的上下顶点坐标分别是(0,3)和(0,-3),经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。设直线m方程为:y?kx?3.联立椭圆和直线方程，整理得：
（3?4k2)x2?24kx?24?0?x1?x2??24k24,x?x? 12223?4k3?4kx1x21(x1?x2)2?2x1?x25(?24k)293 ???2?????k??2x2x12x1?x222(3?4k)?2423 222所以，直线m的斜率k??【例4】已知点P(2,2)，圆C:x?y?8y?0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. （1）求M的轨迹方程；
（2）当OP?OM时，求l的方程及?POM的面积
【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16， ∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则????=(??，???4)，????=(2???，2???)． 由题意可得：?????????=0． 即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0． 整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，√2为半径的圆， 由于|OP|=|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上， 又P在圆N上， 从而ON⊥PM． ∵kON=3，
1∴直线l的斜率为﹣．
3
1
∴直线PM的方程为???2=?3(???2)，即x+3y﹣8=0．
→
→→
→
则O到直线l的距离为|?8|√12+32=
4√10． 5
又N到l的距离为|1×1+3×3?8|√104√10． 5
=
√10， 5
√10∴|PM|=2√2?(5)2=
14√104√1016
∴??△??????=2××=．
555【例5】.已知抛物线C:y?4x的焦点为??,过点??(﹣1,0)的直线??与??相交于??、??两点,点??
2关于??轴的对称点为??. (1)证明:点??在直线????上;
8
(2)设?????????=9,求△??????的内切圆??的方程.
→
→
【解答】解:(1)抛物线C:y2=4x①的焦点为F(1,0), 设过点K(﹣1,0)的直线L:x=my﹣1, 代入①,整理得 y2﹣4my+4=0,
设L与C 的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=4,
点A关于X轴的对称点D为(x1,﹣y1). BD的斜率k1=BF的斜率k2=
??1+??2??2???1??2
=4=,
(????2?1)(????1?1)??2???1
4??
. ??2?1
要使点F在直线BD上 需k1=k2
需4(x2﹣1)=y2(y2﹣y1), 需4x2=y22, 上式成立,∴k1=k2, ∴点F在直线BD上.
(2)?????????=(x1﹣1,y1)(x2﹣1,y2)=(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=(my1﹣2)(my2﹣2)+y1y2=4(m2+1)﹣
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→