2020高考数学二轮复习 专题四 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法学案 理

发布时间 : 星期四 文章2020高考数学二轮复习 专题四 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法学案 理更新完毕开始阅读

2019年

25→

sin〈n,DA〉=.

5

25

所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.

5押题预测

如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,DF=2BE=2,EF=3.

(1)证明:平面ACF⊥平面BEFD;

(2)若二面角A-EF-C是直二面角,求AE与平面ABCD所成角的正切值.

押题依据 利用空间向量求二面角全面考查了空间中的建系、求法向量、求角等知识,是高考的重点和热点.

(1)证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD. ∵BE⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴BE⊥AC, 又BE∩BD=B,BE,BD?平面BEFD, ∴AC⊥平面BEFD. ∵AC?平面ACF, ∴平面ACF⊥平面BEFD. (2)解 方法一 (向量法)

→→→

设AC与BD交于点O,以点O为原点,OA方向为x轴正方向,OB方向为y轴正方向,BE方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,如图.

2019年

取DF的中点H,连接EH. 11

∵BE∥DF且BE=DF,DH=DF,

22∴四边形BEHD为平行四边形, ∵在Rt△EHF中,FH=1,EF=3, ∴EH=22,∴BD=22.

设AB的长为a,则各点坐标为A(a2-2,0,0),

E(0,2,1),F(0,-2,2),C(-a2-2,0,0),

→→

∴AE=(-a2-2,2,1),EF=(0,-22,1),

CE=(a2-2,2,1).

设n1=(x1,y1,z1)为平面AEF的法向量, n2=(x2,y2,z2)为平面CEF的法向量. →??n1·AE=0,

由?

→??n1·EF=0,

1

1

1

?-a2-2x1+2y1+z1=0,

得?

?-22y1+z1=0,

?z=22y,即?32

x=

?a-2y.

1

22

令y1=a-2,得n1=(32,a2-2,22a2-4), 同理得n2=(-32,a2-2,22a2-4). ∵二面角A-EF-C是直二面角, ∴n1·n2=0,得a=2,

2019年

由题意可得∠EAB为AE与平面ABCD所成的夹角, ∵AB=2,BE=1,

BE1

∴tan∠EAB==.

AB2

方法二 (几何法) 设AC与BD交于点O. ∵四边形ABCD是菱形,

∴△ADF≌△CDF,△ABE≌△CBE, ∴AF=CF,AE=CE,∴△AEF≌△CEF. 过A作AM⊥EF,连接CM,则CM⊥EF, 则∠AMC为二面角A-EF-C的平面角. 设菱形的边长为a,

∵BE=1,DF=2,EF=3,DF⊥BD,∴BD=22. 在△AOB中,AO=a-2,∴AC=2a-2,

2

2

∵二面角A-EF-C为直二面角,∴∠AMC为直角, ∴AM=2a-4,

在△AEF中,AM⊥EF,设ME=x,则MF=3-x,

2

AF=a2+4,AE=a2+1,

(2222222

a2+4)-(3-x)=(a2+1)-x,解得x=1,将x=1代入到(a+4)-(3-x)=

(2a-4)中, 解得a=2.

∵AE与平面ABCD所成的角为∠EAB, 1

∴tan∠EAB=.

2

22

2019年

A组 专题通关

→3→1→1→

1.已知平面ABC,点M是空间上任意一点,点M满足条件OM=OA+OB+OC,则直线AM( )

488A.与平面ABC平行 C.是平面ABC的垂线 答案 D

解析 由已知得M,A,B,C四点共面,所以AM在平面ABC内,故选D.

2.(2018·上海松江、闵行区模拟)如图,点A,B,C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条→

坐标轴上,OC=(0,0,2),平面ABC的法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的大小为θ,则cos θ等于( )

B.是平面ABC的斜线 D.在平面ABC内

4522A. B. C. D.- 3333答案 C

解析 由题意可知,平面ABO的一个法向量为OC=(0,0,2), 由图可知,二面角C-AB-O为锐角,

|OC·n||4|2

由空间向量的结论可知,cos θ===.

→2×33|OC||n|

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在A1C上运动(包括端点),则BP与AD1所成角的取值范围是( )

?ππ?A.?,? ?43??ππ?C.?,? ?62?

答案 D

?ππ?B.?,? ?42??ππ?D.?,? ?63?

解析 以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),设正方体棱长为1,点P坐标为(x,1-x,x)(0≤x≤1),

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