发布时间 : 星期六 文章高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 F单元 平面向量(理科)更新完毕开始阅读
数 学
F单元 平面向量
F1 平面向量的概念及其线性运算
13．F1 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________． 1
13. 因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在唯一实数t，使得λa＋b＝t(a＋2b)，所2
??λ＝t，1以?解得λ＝t＝.
2?1＝2t，?
→→
7．F1 设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) 1→4→→
A.AD＝－AB＋AC
33→1→4→
B.AD＝AB－AC
33→4→1→C.AD＝AB＋AC 33→4→1→D.AD＝AB－AC 331→4→→→→→1→→1→→7．A 由题意知AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋(AC－AB)＝－AB＋AC. 3333→→→→→→→13．F1 在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________，y＝________． 11→→→1→→2→1→1→13. － 在△ABC中，MN＝AN－AM＝(AB＋AC)－AC＝AB－AC. 262326
y2x220．F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C1：x＝4y的焦点F也是椭圆C2：2＋2＝1(a>b>0)
ab2
的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为26.
(1)求C2的方程．
→→
(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC与BD同向． (i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；
(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
20．解：(1)由C1：x＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以
2
a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦的长为26，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x＝4y， 396
由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6，，所以2＋2＝1.②
24ab联立①②，得a＝9，b＝8， 故C2的方程为＋＝1.
98
(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
→→→→
(i)因为AC与BD同向，且|AC|＝|BD|，所以AC＝BD，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3
－x4，于是(x1＋x2)－4x1x2＝(x3＋x4)－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
??y＝kx＋1，由?2得?x＝4y?
2
2
2
2
2
y2x2
x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2
＝－4.④ y＝kx＋1，??2222由?xy得(9＋8k)x＋16kx－64＝0. ＋＝1??89而x3，x4是这个方程的两根，所以 16k64，xx＝－3422.⑤ 9＋8k9＋8k222
2
2x3＋x4＝－16k4×6416×9（k＋1）2将④⑤代入③，得16(k＋1)＝， 22＋2，即16(k＋1)＝22（9＋8k）9＋8k（9＋8k）所以(9＋8k)＝16×9，解得k＝±
22
66
，即直线l的斜率为±. 44
(ii)证明：由x＝4y得y′＝，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y22＝
2
xx1
x1xx21
2
－.
4
2
x1→x1→→→x1
令y＝0，得x＝，即M，0，所以FM＝，－1.而FA＝(x1，y1－1)，于是FA·FM＝－
x1
2
222
y1＋1＝＋1>0，
4
x21
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角． 故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
→→→→
7．F1、F3 设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点M，N满足BM＝3MC，→
DN＝2NC，则AM·NM＝( )
A．20 B．15 C．9 D．6
1→1→→→3→→→→
7．C 易知AM＝AB＋AD，NM＝CM－CN＝－AD＋AB，
443
111→→1→→→→→2→2
∴AM·NM＝(4AB＋3AD)·(－3AD＋4AB)＝(16AB－9AD)＝×(16×36－9×16)
4124848＝9.
F2 平面向量基本定理及向量坐标运算
6．F2 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
???2m＋n＝9，?m＝2，
6．－3 因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以?解得?
?m－2n＝－8，?n＝5，??
→→→
故m－n＝－3.
8．F4、F2 已知点A，B，C在圆x＋y＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，→→→
则|PA＋PB＋PC|的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
→→→
8．B 方法一：因为A，B，C均在单位圆上，A，C为直径的端点，所以PA＋PC＝2PO＝→→→→→→→→→→→
(－4，0)，|PA＋PB＋PC|＝|2PO＋PB|≤2|PO|＋|PB|.又|PB|≤|PO|＋1＝3，所以|PA＋PB＋→
2
2
PC|≤4＋3＝7，故选B.
方法二：因为A，B，C均在单位圆上，A，C为直径的端点，所以可令A(cos x，sin x)，
B(cos(x＋α)，sin(x＋α))，C(－cos x，－sin x)，0<α<π，
→→→
则PA＋PB＋PC＝(cos(x＋α)－6，sin(x＋α))，
→→→22
|PA＋PB＋PC|＝[cos（x＋α）－6]＋sin（x＋α）＝37－12cos（x＋α）≤7.
F3 平面向量的数量积及应用
→→
8．F3 △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足 AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1 B．a⊥b →
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥BC
1→1→→→→→
8．D 由AB＝2a，AC＝2a＋b，得a＝AB，b＝AC－2a＝BC，因此|a|＝|AB|＝1，|b|
22→
＝|BC|＝2，且a与b的夹角为120°，故a·b＝1×2×cos 120°＝－1，(4a＋b)·b＝4a·b＋b＝－4＋4＝0，故A，B，C错，D正确．
→→→→→
11．F3 已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________． 11．9 根据题意作出图形，如图所示．
2
→→→→设向量OA，OB的夹角为θ，则OA·OB＝→OA→→→θ＝→，所以OA·OB＝OAOA→→→|cos 所以|OB|||→OB|cos θ.因为OA⊥AB，
||||＝9. ?
?
kπ
6，sin
214．C7、F3 设向量ak＝?cos)的值为________． 14．9
kπ
6
＋cos
kπ?(k＝0，1，2，…，12)，则11(ak·akk＝06??
＋1
3 因为ak·ak＋1
＝cos
kπ
6
cos
kπ?（k＋1）π?kπ
＋?sin＋cos?66?6?
?sin（k＋1）π＋cos（k＋1）π?
??66??
＝2cos
kπ
6
cos
（k＋1）πkπ（k＋1）πkπ（k＋1）πkπ
＋sinsin＋sincos＋cos666666
（k＋1）π
sin
6
＝cos
kπ
6
cos
（k＋1）ππ（2k＋1）π1（2k＋1）π
＋cos＋sin＝cos＋
66626
（2k＋1）π33
sin＋，
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